1. Jaka jest wartość wyrażenia $x^2 - 4x + 4$ dla $x = \sqrt{3}$?
A. $7\sqrt{3}$
B. $7 - 4\sqrt{3}$
C. $-1 - \sqrt{3}$
D. 10
2. Liczba $\frac{2^{20} \cdot 5^{10}}{20^{10}}$ jest równa
A. 1
B. 2
C. $2^5$
D. $\frac{2}{5}$
3. Liczba $log_7 343$ jest równa
A. 49
B. 3
C. 7
D. 5
4. Cenę $x$ pewnego towaru podniesiono o $25\%$ i otrzymano cenę $y$. O ile procent należy obniżyć cenę $y$, aby ponownie otrzymać cenę $x$?
A. $22\%$
B. $25\%$
C. $20\%$
D. $15\%$
5. Zbiorem rozwiązań nierówności $x + 1 < -3x - \frac{1}{3}$ jest
A. $x \in (-\infty; -\frac{13}{3})$
B. $x \in (-\infty; \frac{1}{3})$
C. $x \in (\frac{1}{3}; \infty)$
D. $x \in (-\infty; -\frac{1}{3})$
6. Ile różnych rozwiązań ma równanie $(x^2 - 3)(x - 2)^2x = 0$?
A. 4
B. 7
C. 2
D. 6
7. Dana jest funkcja kwadratowa określona wzorem $f(x) = x^2 - 8x + 16$. Ile miejsc zerowych ma ta funkcja?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
8. Dana jest funkcja kwadratowa określona wzorem $f(x) = x^2 -6x + 8$. Dla jakiej wartości argumentu funkcja przyjmuje najmniejszą wartość?
A. $x = 0$
B. $x = 3$
C. $x = 4$
D. $x = 7$
9. Osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji $f$ określonej wzorem $f(x) = x^2 + 18x + 81$ jest prosta
A. $x = 0$
B. $x = -3$
C. $x = 3$
D. $x = -9$
10. Równanie $x(x^2 -5x + 6) = -2(x - 2)^2$ w zbiorze liczb rzeczywistych ma rozwiązań
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
11. Dane jest funkcja $f$ określona wzorem $f(x) = 3(x - 1) + 2$ jej miejscem zerowym jest
A. $x = 3$
B. $x = 0$
C. $x = \frac{1}{3}$
D. $x = -3$
12. Dana jest funkcja określona wzorem $f(x) = 3^{-x - 1} + 2$ dla każdej liczby $x \in \!R$. Liczba $f(3)$ jest równa
A. $x = \frac{162}{9}$
B. $x = -\frac{162}{9}$
C. $x = 2\frac{1}{3}$
D. $x = \frac{163}{81}$
13. Proste $y_1 = 7x + 2$ oraz $y_2 = (m + 3)x + 2$ są równoległe, gdy
A. $m = 0$
B. $m = 2$
C. $m = -4$
D. $m = 4$
14. Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n = (n + 1)^2 - 7$ dla $n > 0$. Wyraz $a_3$ jest równy
A. 2
B. 7
C. 9
D. 3
15. Ciąg arytmetyczny $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n = 2n - 4$ dla $n > 0$. Suma pierwszych dziesięciu wyrazów tego ciągu jest równa
A. 20
B. 70
C. 90
D. 16
16. Do wykresu funkcji określonej wzorem $f(x) = \frac{1}{3}x + b$ należy punkt $A = (2; 1)$. Wynika z tego, że
A. $b = 1
B. $b = \frac{1}{6}$
C. $b = \frac{1}{3}$
D. $b = 3$
17. Dany jest kąt środkowy o mierze $30^\circ$. Miara kąta wpisanego opartego na tym samym łuku wynosi
A. $15^\circ$
B. $60^\circ$
C. $90^\circ$
D. $10^\circ$
18. Prosta przechodząca przez punkty $A = (1; 2)$ i $B = (5; 6)$ ma równanie
A. $y = x - 1$
B. $y = 2x + 2$
C. $y = x + 1$
D. $y = 3x - 3$
19. Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości $\sqrt{3}$ i $2\sqrt{2}$. Długość jego przyprostokątnej wynosi
A. $2\sqrt{3}$
B. $3\sqrt{2}$
C. $2\sqrt{2}$
D. $\sqrt{11}$
20. Punkt $B$ jest obrazem punktu $A = (-2; 4)$ w symetrii względem osi $X$ układu współrzędnych. Punkt $B$ jest równy
A. $B = (2; 4)$
B. $B = (-2; -4)$
C. $B = (2; -4)$
D. $B = (0; 2)$
21. Ile jest parzystych liczb dwucyfrowych utworzonych z cyfr należących do zbioru $\{1,2,3,...,9\}$. Cyfry w liczbie nie mogą się powtarzać.
A. 90
B. 64
C. 32
D. 16
22. Pole kwadratu jest równe 16. Ile wynosi promień $r$ okręgu opisanego na tym kwadracie?
A. $r = 2\sqrt{2}$
B. $r = \sqrt{2}$
C. $r = 4\sqrt{2}$
D. $r = 2$
23. Mediana liczb $1, 2, 4, 5, 6, 7, 9$ to
A. 5
B. 6
C. 1
D. 9
24. Bok sześcianu ma długość $2$. Jego objętość $V$ wynosi
A. 4
B. 12
C. 8
D. 24
25. Objętość $V$ stożka, którego promień podstawy to $r = 4$, a wysokość jest dwukrotnie większa od promienia podstawy wynosi
A. $128\pi$
B. $12\pi$
C. $32$
D. $\frac{128}{3}\pi$
26. (0 - 2) Rozwiąż nierówność $x(x - 4)(x^2 - 6x + 9) < 0$.
27. (0 - 2) Rozwiąż równanie $(x^2 - 3)(x + 2)^2x = 0$.
28. (0 - 2) Wykaż, że nierówność $(a - b)^2 + 2b^2 + b(b - 2a) > 0$ dla dowolnych liczb rzeczywistych $a, b$, takich, że $a \neq 2b$ jest prawdziwa.
29. (0 - 2) Dany jest trójkąt równoboczny $ABC$ o boku długości $a\sqrt{3}$. Wyznacz wysokość tego trójkąta.
30. (0 - 2) Losujemy dwukrotnie (bez zwracania) jedną liczbę ze zbioru $A = \{1, 2, 3, ... , 27\}$. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania dwóch liczb podzielnych przez $5$?
31. (0 - 2) Wiedząc, że $sin \alpha \cdot cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{4}$ oblicz wartość $sin \alpha + cos \alpha$.
32. (0 - 4) Dany jest trójkąt równoboczny, którego jeden z wierzchołków to $C = (5; 12)$, a pozostałe dwa leżą na prostej o równaniu $y = x + 1$ Oblicz pole tego trójkąta.
33. (0 - 4) Dany jest ciąg geometryczny $(a_n)$, $n > 0$. Wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Wiadomo, że wyrazy tego ciągu spełniają warunek: $$a_3 + a_5 - 2a_1 = 0 $$ Oblicz iloraz ciągu $(a_n)$, wiedząc, że jest on dodatni.
34. (0 - 5) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Przekątna jego podstawy wynosi $\sqrt{2}$, a długość krawędzi bocznej $4$. Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.