Podstawa programowa — zakres podstawowy (CKE 2025)

1. Wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych.

2. Przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia.

3. Stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych.

4. Stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach.

5. Stosuje monotoniczność potęgowania, w szczególności własności: jeśli $x < y$ oraz $a > 1$, to $a^x < a^y$, zaś gdy $x < y$ i $0 < a < 1$, to $a^x > a^y$.

6. Posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej.

7. Stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje równania typu $|x + 4| = 5$.

8. Wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów.

9. Stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.

1. Stosuje wzory skróconego mnożenia na $(a + b)^2$, $(a - b)^2$, $a^2 - b^2$.

2. Dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych.

3. Wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej.

4. Mnoży i dzieli wyrażenia wymierne.

1. Przekształca równania i nierówności w sposób równoważny.

2. Interpretuje równania i nierówności liniowe sprzeczne oraz tożsamościowe.

3. Rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą.

4. Rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe.

5. Rozwiązuje równania wielomianowe postaci $W(x) = 0$ dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej.

1. Rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych.

2. Stosuje układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych.

1. Określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego, tabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach).

2. Oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym.

3. Odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów, wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła informacji lub kilku źródeł jednocześnie.

4. Odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane.

5. Interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej.

6. Wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach.

7. Szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem.

8. Interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje).

9. Wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie.

10. Wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym.

11. Wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym.

12. Na podstawie wykresu funkcji $y = f(x)$ szkicuje wykresy funkcji $y = f(x - a)$, $y = f(x) + b$.

13. Posługuje się funkcją $f(x) = \frac{a}{x}$, w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zastosowaniach praktycznych.

14. Posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.

1. Oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym.

2. Oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie.

3. W prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący.

4. Sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny.

5. Stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

6. Stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.

7. Wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.

1. Wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180°, w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°.

2. Korzysta ze wzorów $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, $\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.

3. Stosuje twierdzenie cosinusów oraz wzór na pole trójkąta $P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin\gamma$.

4. Oblicza kąty trójkąta prostokątnego i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty prostokątne, w tym z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych).

1. Wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa.

2. Rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok.

3. Rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności.

4. Korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach.

5. Stosuje własności kątów wpisanych i środkowych.

6. Stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu.

7. Stosuje twierdzenie Talesa.

8. Korzysta z cech podobieństwa trójkątów.

9. Wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych.

10. Wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności.

11. Przeprowadza dowody geometryczne.

12. Stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur.

1. Rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań, w tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje.

2. Posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich, jak np. przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość do innej prostej).

3. Oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych.

4. Posługuje się równaniem okręgu $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$.

5. Wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osi układu współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w początku układu współrzędnych).

1. Rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się.

2. Posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami.

3. Rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów.

4. Rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów.

5. Oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii.

6. Wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.

1. Zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych.

2. Zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) dla dowolnej liczby czynności.

1. Oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym.

2. Oblicza średnią arytmetyczną i średnią ważoną, znajduje medianę i dominantę.

Rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.