1. Liczba $5^{-10} \cdot 25^{7}$ jest równa
A. $75$
B. $3125$
C. $125$
D. $625$
2. Liczba $\sqrt{625} - 5\sqrt{7^4}$ jest równa
A. $576$
B. $5\sqrt{7}$
C. $270$
D. $-220$
3. Liczba $log_2 \frac{1}{16} + log_2 32$ jest równa
A. 4
B. -4
C. 2
D. 1
4. Cenę pewnej książki podniesiono o 20%, a następnie obniżono o 10% i wyniosła ona 54zł. Książka pierwotnie kosztowała
A. $48.6$ zł
B. $52$ zł
C. $50$ zł
D. $58.32$ zł
5. Do zbioru rozwiązań równania $(3x - 2)(x^2 + 3x - 54) = 0$ należy
A. $x = -\frac{2}{3}$
B. $x = -9$
C. $x = -6$
D. $x = -1$
6. Liczbą spełniającą nierówność $|x - \frac{5}{7}| > 3$ jest
A. $x = -2.5$
B. $x = 2$
C. $x = 3$
D. $x = -1.25$
7. Najmniejszą wartością funkcji kwadratowej opisanej wzorem $f(x) = x^2 - 8x + 18$ jest
A. $y = -2$
B. $y = 2$
C. $y = 4$
D. $y = -4$
8. Miejscem zerowym funkcji $f(x) = \sqrt{3}x^2 - \frac{\sqrt{3}}{3}$ jest
A. $x_0 = -\frac{\sqrt{3}}{3}$
B. $x_0 = -\frac{1}{3}$
C. $x_0 = \frac{1}{3}$
D. $x_0 = \sqrt{3}$
9. Do wykresu funkcji $f(x) = \frac{1}{3}x - \frac{3}{4}$ należy punkt
A. $P = (\frac{9}{4}, 0)$
B. $P = (3, -\frac{1}{4})$
C. $P = (3, 0)$
D. $P = (1, \frac{1}{2})$
10. Dane są dwie funkcje $f(x) = \frac{1}{2}x - \sqrt{3}$ oraz $g(x) = \frac{1}{4}x + \sqrt{5}$. Funkcje przyjmują takie same wartości dla argumentu
A. $x = 4$
B. $x = 4\sqrt{5} + 4\sqrt{3}$
C. $x = -4$
D. $x = 4\sqrt{5} - 4\sqrt{3}$
11. Dla jakich wartości parametru $m$ funkcja $f(x) = (m^2 - 3)x - 2$ ma miejsce zerowe dla $x_0 = 1$
A. $m \in \{2, -2\}$
B. $m \in \{-\sqrt{5}, \sqrt{5}\}$
C. $m \in \{-1, 1\}$
D. $m \in \{0\}$
12. Dla jakich wartości parametru $m$ funkcje $f(x) = (m - 3)x + 7$ i $g(x) = \frac{1}{4}x + 3\sqrt{2}$ są prostopadłe
A. $m = 2$
B. $m = -2$
C. $m = \frac{1}{2}$
D. $m = -1$
13. Wyrażenie $log_6(2x - \sqrt{7})$ jest określone dla wszystkich liczb $x$ spełniających warunek
A. $x > \frac{\sqrt{7}}{4}$
B. $x > \frac{\sqrt{7}}{2}$
C. $x > \sqrt{7}$
D. $x > 2\sqrt{7}$
14. Liczby $(-3, x, 7)$ są kolejnymi wyrazami pewnego ciągu arytmetycznego. Różnica tego ciągu arytmetycznego jest równa
A. $10$
B. $4$
C. $2$
D. $5$
15. Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n = 2^{\frac{1}{2}n^2 - 1} + n^2 + 4$ dla $n > 0$. Wyraz $a_4$ jest równy
A. $148$
B. $20$
C. $22$
D. $74$
16. Wyrażenie $3a^2 + 18ab + 9ab^4$ jest równe
A. $3a(a + 6b + 3b^4)$
B. $3a(a + 15b + 6b^4)$
C. $3(a^2 + 6b + 3b^4)$
D. $3(a + 6b + 3b^4)$
17. Dane są dwie proste $y_1 = 2x - m$ i $y_2 = mx + 1$, obie proste przechodzą przez punkt $P = (2; 3)$, gdy
A. $m = -2$
B. $m = 1$
C. $m = --1$
D. $m = 2$
18. Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego, którego jeden z kątów ostrych wynosi $30^{\circ}$ oraz krótsza przyprostokątna jest równa $3$ jest równa
A. $\sqrt{3}$
B. $3\sqrt{3}$
C. $3$
D. $6$
19. Odległość punktu $B = (4; 3)$ od prostej $y = x + 3$ wynosi
A. $\sqrt{2}$
B. $4\sqrt{2}$
C. $2\sqrt{2}$
D. $6\sqrt{2}$
20. W szufladzie znajdują się 3 kulki czarne i 5 niebieskich. Losujemy dwukrotnie jedną kulkę ze zwracaniem. Prawdopodobieństwo wylosowania dwukrotnie kulki czarnej wynosi
A. $\frac{3}{64}$
B. $\frac{1}{8}$
C. $\frac{3}{8}$
D. $\frac{9}{64}$
21. Pole trójkąta o bokach długości $4,5,7$ wynosi
A. $4\sqrt{6}$
B. $96$
C. $4\sqrt{2}$
D. $6\sqrt{6}$
22. Wiadomo, że $sin \alpha$ kąta w pewnym trójkącie wynosi $\frac{\sqrt{2}}{4}$ wówczas cosinus tego kąta jest równy
A. $cos \alpha = \frac{3}{2}$
B. $cos \alpha = \frac{\sqrt{14}}{4}$
C. $cos \alpha = \frac{1}{2}$
D. $cos \alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3}$
23. Średnia arytmetyczna pewnych 10 liczb jest równa 21. Po dodaniu do nich liczby 43 średnia będzie wynosiła
A. $25$
B. $21$
C. $23$
D. $24$
24. Na okręgu leży punkt $C$. Odcinek $AB$ jest średnicą okręgu. Punkt $O$ jest środkiem okręgu. Pole trójkąta $AOC$ wynosi $7$. Pole trójkąta $OBC$ wynosi
A. $5$
B. $5\sqrt{5}$
C. $6$
D. $7$
25. Objętość sześcianu, którego pole powierzchni bocznej wynosi $150$ jest równa
A. $150$
B. $300$
C. $125$
D. $25$
26. (0 - 2) Rozwiąż nierówność $x^2(x^2 - 4)(x^2 - 6x + 9) < 0$.
27. (0 - 2) Rozwiąż równanie $x^2 + 2x - 24 = 0$.
28. (0 - 2) Wykaż, że nierówność $2a^2 + 5b^2 - 6ab > -1$ dla liczb rzeczywistych $a, b$ jest zawsze prawdziwa.
29. (0 - 2) Oblicz sumę pięciu kolejnych wyrazów cięgu arytmetycznego $(a_n)$, wiedząc, że trzeci wyraz tego ciągu to $a_3 = 10$.
30. (0 - 2) Ile różnych liczb nieparzystych czterocyfrowych, takich, że żadna cyfra w liczbie się nie powtarza można utworzyć ze zbioru $A = \{1, 2, 3, 5, 7, 8\}$?
31. (0 - 2) Wiedząc, że $sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{4}$ oblicz $3cos^2\alpha$.
32. (0 - 4) Dana jest prosta o równaniu $y = x - 1$ oraz punkt $A = (1; 2)$. Wyznacz współrzędne punktu $B$, jeśli wiadomo, że należy on do prostej $y$ i jest odległy od punktu $A$ o $2\sqrt{5}$.
33. (0 - 4) Dany jest trójkąt $ABC$. Punkt $D$ nalezy do odcinka $AB$ i wiadomo, że $\frac{|AD|}{|DB|} = \frac{1}{3}$. Wiadomo, że pole trójkąta $DBC$ wynosi $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Oblicz pole trójkąta $ADC$.
34. (0 - 4) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do podstawy pod kątem $\alpha = 60^{\circ}$. Wysokość ściany bocznej jest równa $3\sqrt{2}$. Oblicz objętość tego ostrosłupa.